Fungsi Pertumbuhan Eksponensial
Fungsi eksponensial menceritakan kisah perubahan eksplosif. Dua jenis fungsi eksponensial adalah pertumbuhan eksponensial dan peluruhan eksponensial. Empat variabel (perubahan persen, waktu, jumlah pada awal periode waktu, dan jumlah pada akhir periode waktu) memainkan peran dalam fungsi eksponensial. Berikut ini fokus pada penggunaan fungsi pertumbuhan eksponensial untuk membuat prediksi.
Pertumbuhan Eksponensial
Pertumbuhan eksponensial adalah perubahan yang terjadi ketika jumlah awal ditingkatkan dengan tingkat yang konsisten selama periode waktu tertentu
Penggunaan Pertumbuhan Eksponensial dalam Kehidupan Nyata:
- Nilai harga rumah
- Nilai investasi
- Peningkatan keanggotaan situs jejaring sosial populer
Edloe and Co. mengandalkan iklan dari mulut ke mulut, jaringan sosial asli. Lima puluh pembeli masing-masing memberi tahu lima orang, dan kemudian masing-masing pembeli baru itu memberi tahu lima orang lagi, dan seterusnya. Manajer mencatat pertumbuhan pembeli toko.
- Minggu 0: 50 pembeli
- Minggu 1: 250 pembeli
- Minggu 2: 1.250 pembeli
- Minggu 3: 6.250 pembeli
- Minggu 4: 31.250 pembeli
Pertama, bagaimana Anda tahu bahwa data ini mewakili pertumbuhan eksponensial ? Tanyakan pada diri Anda dua pertanyaan.
- Apakah nilainya meningkat? Iya
- Apakah nilainya menunjukkan peningkatan persen yang konsisten? Ya .
- Persentase peningkatan: (Lebih Baru - Lebih Lama) / (Lebih Tua) = (250 - 50) / 50 = 200/50 = 4.00 = 400%
Verifikasi bahwa kenaikan persentase berlanjut sepanjang bulan:
- Persentase peningkatan: (Lebih Baru - Lebih Lama) / (Lebih Tua) = (1,250 - 250) / 250 = 4,00 = 400%
- Peningkatan persentase: (Lebih Baru - Lebih Tua) / (Lebih Tua) = (6,250 - 1,250) / 1,250 = 4,00 = 400%
Berikut ini merupakan pertumbuhan linier:
- Minggu 1: 50 pembeli
- Minggu 2: 50 pembeli
- Minggu 3: 50 pembeli
- Minggu 4: 50 pembeli
Catatan: Pertumbuhan linear berarti jumlah pelanggan yang konsisten (50 pembeli seminggu); pertumbuhan eksponensial berarti peningkatan persen yang konsisten (400%) dari pelanggan.
Cara Menulis Fungsi Pertumbuhan Eksponensial
Inilah fungsi pertumbuhan eksponensial:
y = a ( 1 + b) x
- y : Jumlah final tersisa selama periode waktu tertentu
- a : Jumlah aslinya
- x : Waktu
- The faktor pertumbuhan adalah (1 + b ).
- Variabel, b , adalah persen perubahan dalam bentuk desimal.
Isi bagian yang kosong:
- a = 50 pembeli
- b = 4.00
y = 50 (1 + 4) x
Catatan : Jangan mengisi nilai untuk x dan y . Nilai x dan y akan berubah di seluruh fungsi, tetapi jumlah awal dan persen perubahan akan tetap konstan.
Gunakan Fungsi Pertumbuhan Eksponensial untuk Membuat Prediksi
Asumsikan bahwa resesi, pendorong utama pembeli ke toko, bertahan selama 24 minggu. Berapa banyak pembeli mingguan yang akan dimiliki toko selama minggu ke- 8 ?
Hati-hati, jangan gandakan jumlah pembeli di minggu ke 4 (31.250 * 2 = 62.500) dan yakin itu jawaban yang benar. Ingat, artikel ini tentang pertumbuhan eksponensial, bukan pertumbuhan linier.
Gunakan Urutan Operasi untuk menyederhanakan
- y = 50 (1 + 4) x
- y = 50 (1 + 4) 8
- y = 50 (5) 8 (Parenthesis)
- y = 50 (390.625) (Eksponen)
- y = 19.531.250 (Multiply)
- 19.531.250 pembeli
Pertumbuhan Eksponensial dalam Pendapatan Eceran
Sebelum dimulainya resesi, pendapatan bulanan toko berkisar sekitar $ 800.000. Pendapatan toko adalah jumlah total dolar yang dihabiskan pelanggan di toko untuk barang dan jasa.
Pendapatan Edloe and Co.
- Sebelum resesi: $ 800.000
- 1 bulan setelah resesi: $ 880.000
- 2 bulan setelah resesi: $ 968.000
- 3 bulan setelah resesi: $ 1,171.280
- 4 bulan setelah resesi: $ 1.288.408
Gunakan informasi tentang pendapatan Edloe and Co untuk menyelesaikan 1 hingga 7.
- Berapa pendapatan asli?
- Apa faktor pertumbuhannya?
- Bagaimana model data ini pertumbuhan eksponensial?
- Tulis fungsi eksponensial yang menggambarkan data ini.
- Tulis fungsi untuk memprediksi pendapatan di bulan kelima setelah dimulainya resesi.
- Berapa pendapatan pada bulan kelima setelah dimulainya resesi ?
Asumsikan bahwa domain fungsi eksponensial ini adalah 16 bulan. Dengan kata lain, anggaplah bahwa resesi akan berlangsung selama 16 bulan. Pada titik mana pendapatan akan melampaui 3 juta dolar?